eng
Выпуск #7/2019
В.Горячев, А.Чуприн
РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОЙ ИНДУКТИВНОСТИ ДРОССЕЛЯ СГЛАЖИВАЮЩЕГО ФИЛЬТРА. ЧАСТЬ 1
РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОЙ ИНДУКТИВНОСТИ ДРОССЕЛЯ СГЛАЖИВАЮЩЕГО ФИЛЬТРА. ЧАСТЬ 1
Просмотры: 3591
Выведена формула для расчета критической индуктивности дросселя сглаживающего фильтра импульсного вторичного источника питания с учетом длительности просечки ("мертвое время"). Расчет индуктивности производится исходя из разброса входных питающих напряжений, выходных токов нагрузки и периода повторения импульсов на входе фильтра.
Теги: calculation of critical inductance of smoothing filters l-shaped filter secondary power sources smoothing filter inductor вторичные источники питания г-образный фильтр дроссель сглаживающего фильтра расчет критической индуктивности сглаживающих фильтров
Часть 1
В.Горячев, к.т.н., главный специалист ЗАО "СпецЭлектронСистемы",
А.Чуприн, главный конструктор ЗАО "СпецЭлектронСистемы" / andchuprin@rambler.ru
УДК 621.311.69, DOI: 10.22184/2070-8963.2019.84.7.60.64
Выведена формула для расчета критической индуктивности дросселя сглаживающего фильтра импульсного вторичного источника питания (ВИП) с учетом длительности просечки ("мертвое время"). Расчет индуктивности производится исходя из разброса входных питающих напряжений, выходных токов нагрузки и периода повторения импульсов на входе фильтра.
Сглаживающий Г-образный фильтр (СгФ) включает в себя всего два компонента – дроссель и конденсатор фильтра. Напомним, что дросселем фильтра наиболее часто называют катушку индуктивности, работающую при больших уровнях постоянного тока (тока подмагничивания), протекающего через витки катушки индуктивности. СгФ включается между выпрямителем (ВП) и нагрузкой Rн (рис.1). И в этой цепи он обеспечивает не только сглаживание пульсаций (откуда его название), но и ряд других функций, таких как ограничение скорости нарастания тока через силовые ключи; снижение пускового тока импульсного ВИП в момент включения; формирование нагрузочной характеристики силовых ключей. Однако основные задачи фильтра в составе ВИП заключаются в другом – выделении постоянной составляющей напряжения из импульсных сигналов прямоугольной формы, поступающих на вход дросселя СгФ, и в подавлении амплитуд первой и высших гармоник, присутствующих в последовательности входных импульсов. Для выполнения этих функций СгФ должен удовлетворять ряду требований, предъявляемых к дросселю фильтра.
И одним из этих требований, по существу основным, является обеспечение индуктивной реакции фильтра на ВП.
Можно выделить несколько аргументов в пользу обеспечения индуктивной реакции фильтра: индуктивная реакция необходима для большей стабильности внешней характеристики ВП; при индуктивной реакции фильтра меньше действующее значение токов в вентилях ВП и в обмотках трансформатора; меньше габаритная мощность трансформатора. Но для обеспечения индуктивной реакции фильтра необходимо, чтобы дроссель фильтра обладал определенной индуктивностью Lф – большей или равной критической величине индуктивности Lкр, то есть Lф ≥ Lкр.
Как уже указывалось, основная задача СгФ заключается в том, чтобы выделить постоянную (нулевую) составляющую напряжения из импульсных входных сигналов прямоугольной формы или, что то же самое, выделить среднее значение напряжения (выполнить усреднение входного сигнала). То есть СгФ должен функционировать в соответствии с выражением:
Uср = Uвых = Uвх L(tИ/Т) = Uвх L × Кз, (1)
где Uср = Uвых – средняя величина импульсного сигнала, равная постоянной составляющей (нулевая составляющая) напряжения на выходе СгФ; Uвх L – максимальная амплитуда импульсного сигнала на входе дросселя; tИ = tON – длительность импульса на входе СгФ, равная длительности включенного состояния силового МОП-транзистора, поступающего на его вход с выхода узла ШИМ (широтно-импульсный модулятор); Т – период следования импульсов на входе дросселя СгФ; Кз = tИ/Т – коэффициент заполнения.
В выражении (1) отсутствует ток. Последнее свидетельствует о том, что выходное напряжение Uвых не зависит от тока нагрузки, а длительность импульса tИ = tON остается постоянной при изменении тока нагрузки в заданных разработчиком пределах – от тока IН = IНMAX до тока IН = IНMIN. Это является следствием допущения, что нет потерь в проводниках и активных элементах. Более правильно сказать, что длительность импульса зависит, но очень незначительно, от тока нагрузки. И это объясняется тем, что с изменением тока нагрузки меняется напряжение на диоде, на проводниках. Следовательно, отрицательная обратная связь (ООС) должна отрабатывать эти изменения. Но поскольку эти изменения незначительны, то можно сказать, что длительность импульса tИ = tON практически не зависит от тока нагрузки при условии изменения тока в заданных пределах. Однако, как указывалось выше, для работы СгФ в соответствии с уравнением (1) необходимо, чтобы индуктивность дросселя Lф была равна или больше критической индуктивности, то есть Lф ≥ Lкр.
В импульсных вторичных источниках питания, содержащих СгФ, под индуктивностью Lкр понимают такую индуктивность дросселя, при которой ток дросселя непрерывен при минимальной величине тока нагрузки, то есть при Rн = Rн.max. Это означает, что ток в дросселе будет протекать и при отсутствии импульсов на его входе, то есть в паузе между импульсами. При этом во время действия импульса tИ = tON ток в индуктивности нарастает по линейному закону со скоростью
di/dt = UL/Lкр, (2)
а в паузе снижается по линейному закону со скоростью
di/dt ≈ – Uвых/Lкр, (3)
где UL, и Uвых – постоянные величины, то есть const.
Принимая во внимание, что для функций, изменяющихся по линейному закону, дифференциал функции равен ее приращению, выражения (2) и (3) можно записать в виде:
ΔI/Δt = UL/Lкр, (2а)
ΔI/Δt ≈ – Uвых/Lкр. (3а)
При этом при Lф ≥ Lкр полное приращение тока, то есть ΔI за время действия импульса
tИ = tON будет равно 2Iн.min, то есть
ΔI = 2Iн.min (4)
И, следовательно, амплитуда тока пилообразного напряжения (ΔI/2 ) станет равной минимальному току нагрузки, то есть
ΔI/2 = Iн.min. (5)
Форма тока в дросселе СгФ при токе нагрузки, равном току Iн.min, приведена на рис.2. Из рисунка видно, что ΔI/2 – это амплитуда пилообразного тока, которая равна среднему значению тока в дросселе LC-фильтра, а ΔI – это полное приращение тока за время действия импульса tИ = tON. Во время действия импульса на входе СгФ, то есть во время открытого состояния ключевого транзистора VT1 или VT2, в дросселе накапливается энергия, которая должна быть отдана в нагрузку в момент действия паузы. Таким образом, во время отсутствия импульсов энергия в нагрузке обеспечивается за счет энергии, накопленной в дросселе и конденсаторе фильтра. Напомним, что индуктивность в стадии разряда рассматривается как источник тока, а конденсатор – как источник напряжения.
Величину индуктивности дросселя можно приближенно оценить, если предположить, что ток от своей первоначальной величины Iн. = Iн.min разряжается по экспоненциальному закону с постоянной времени
τ = L/Rн. (6)
Из этого выражения следует, что чем больше величина сопротивления R = Rн, тем меньше постоянная времени, то есть меньше времени требуется для ее разряда. Понятно, что ток через дроссель не успеет разрядиться до нуля, если величину дросселя L определить из выражения
L ≥ T × Rн.max, (7)
где Rн.max соответствует току, равному току Iн.min, поскольку для полного разряда требуется время больше, чем 3τ.
Следовательно, найденная таким образом индуктивность будет избыточна, что не всегда оправдано, так как такая индуктивность будет занимать много места вследствие большого числа витков. Индуктивность дросселя определяется из выражения:
L = ω2/Rм, (8)
где Rм – магнитное сопротивление дросселя (представление о магнитном сопротивлении является условным, так как в магнитном материале отсутствует движение частиц [1]):
Rм = lср/µS (1/Гн ), (8а)
где lср – длина средней линии кольцевого сердечника дросселя; S – площадь поперечного сечения сердечника; µа – абсолютная магнитная проницаемость вещества магнитопровода (характеризует магнитные свойства вещества, то есть способность вещества намагничиваться под действием внешнего поля) Гн/м. Критическая индуктивность имеет заметно меньшую величину, и она близка к оптимальной с точки зрения габаритов и потерь в дросселе. Поэтому нахождение критической индуктивности вытекает из необходимости построения ВИП с высокой удельной мощностью (например, бортовых ВИП).
Однако важно отметить, что применение дросселей с индуктивностью больше Lкр, кроме отмеченного выше недостатка, имеет свои преимущества, и работа дросселя с индуктивностью, значительно превышающей критическую, во многих случаях оказывается вполне оправданной.
Но вернемся к индуктивности Lкр – и найдем выражение для ее определения.
Для этого воспользуемся общеизвестной формулой:
L = UL × (dt/di). (9)
Или с учетом вышеприведенных замечаний запишем эту формулу в следующем виде:
L = UL × (Δt/ΔI), (10)
где Δt – время протекания тока через дроссель при открытом состоянии ключевого МОП-транзистора, то есть Δt = tИ = tON; UL – напряжение на выводах дросселя (при максимальном напряжении на входе ВИП, то есть при Uвх max), которое находится по формуле:
UL = UВХ L – UВЫХ. (11)
Величина тока пульсаций дросселя ΔI задается разработчиком и, как правило, находится в пределах:
ΔI= КI × Iн.max, (12)
где КI – (коэффициент пульсации тока дросселя ) –
обычно лежит в пределах (10 – 30)% от Iн.max, то есть можно записать, что
ΔI = (0,1 – 0,3)Iн.max. (13)
И тогда с учетом выражения (4) можно записать
ΔI = КI × Iн.max = 2Iн.min. (14)
Из уравнения (14) находим амплитуду тока пульсаций дросселя (ΔI/2), которая в дальнейшем потребуется при определении максимального тока дросселя:
(ΔI/2) = Iн.min = КI × Iн.max /2 = (0,1-0,3)Iн.max/2. (15)
Еще раз напомним: индуктивность, подсчитанную по формуле (10), можно рассматривать в качестве критической, если ток в дросселе непрерывен в течение всего периода Т, а для этого необходимо, чтобы:
прирост тока в дросселе (ΔI) за время действия импульса ШИМ был равен 2Iн.min, то есть
ΔI = 2Iн.min;
ток во время действия импульса ШИМ и в его отсутствии изменялся по линейному закону (это возможно только при условии постоянства напряжения на выводах дросселя фильтра как в момент действия импульса ШИМ, так и в его отсутствии);
среднее значение тока в дросселе LC фильтра равно току нагрузки. В этом случае длительность импульсов при заданном входном напряжении, формируемых схемой ШИМ, будет постоянна независимо от тока нагрузки, изменяемого в заданных пределах от Iн.min до Iн.max.
Таким образом, чтобы найти величину Lкр по формуле (10), необходимо определить две величины – UВХL и длительность импульса tИ = tON. Величину UВХL найдем из формулы (1):
UВХL = UВЫХ × (Т/ tИ ). (16)
Для нахождения величины длительности импульса tИ = tON воспользуемся формулой, по
которой работает ШИМ:
Uвх × tИ = сonst, (17)
где Uвх – напряжение на входе ВИП.
То есть ШИМ формирует импульсные сигналы, длительность которых уменьшается при увеличении входного сигнала и увеличивается при его уменьшении. Но если это так, то уравнение (17) можно записать следующим образом:
Uвх min × tИmax = Uвх max × tИmin, (18)
где Uвх min, Uвх max – соответственно минимальное и максимальное напряжения на входе ВИП, то есть это диапазон изменения входного напряжения; tИmin, tИmax – соответственно минимальная и максимальная длительность импульсов, формируемых схемой ШИМ в заданном диапазоне напряжений, причем tИmin = tИ = tON – это искомая длительность импульса.
Из формулы (18) выразим искомую длительность импульса:
tИ = tON = (Uвх min × tИmax)/ Uвх max. (19)
Напряжение на выводах дросселя UL определяется формулой (11). После подстановки находим:
UL = ( UВЫХ × Т )/tи – UВЫХ = UВЫХ × ( Т – tи)/tи. (20)
Находим произведение UL × tи:
UL × tи = UВЫХ × [( Т – tи)/ tи] × tи = UВЫХ × (Т – tи). (20а)
Находим произведение UL × tи с учетом длительности импульса tи, определяемого выражением (19):
UL × tи = UВЫХ × ( Т – Uвх min × tИmax/Uвх max) =
= UВЫХ × (T × Uвх max- Uвх min × tИmax)/Uвх max. (20б)
Величину Lкр найдем из выражения (10), подставив в него найденные значения UL × tи (формула 20б) и ΔI (формула 12):
Lкр ≥ Uвых(Т × Uвх max – Uвх min × tИmax)/
Uвх max × (КI × Iнmax). (20в)
В математическом выражении (20в) выразим tИmax формулой:
tИmax = Т – tПРОС, (21)
где tПРОС – длительность просечки (см.рис.2) или, что то же самое, "мертвое время" (dead time).
Длительность просечки задается разработчиком, и она зависит от ряда факторов. Это и тип используемых силовых транзисторов (ключей), и параметры трансформатора, и частота преобразования. Обычно при выполнении силовых ключей на МОП-транзисторах и частоте преобразования, не превышающей 500 кГц, она составляет менее десятой части периода, т. е.
tПРОС = 0,1 × Т. (23)
После подстановки (21) в формулу (20в) найдем величину Lкр с учетом длительности просечки:
Lкр ≥ [Uвых(Т × Uвх max – Uвх min × (T – tПРОС)] / Uвх max
(КI × Iнmax) = [Uвых(Т × Uвх max – Uвх min × T + Uвх min × tПРОС)] / Uвх max(КI × Iнmax) = Uвых[(Т × (Uвх max – Uвх min) +
(Uвх min × tПРОС)] / Uвх max(КI × Iнmax).
Таким образом, получили легко читаемую формулу для подсчета критической индуктивности с учетом длительности просечки, выраженную с учетом разброса напряжения питания на входе ВИП:
Lкр ≥ Uвых[(Т × (Uвх max – Uвх min) +
+ (Uвх min × tПРОС)] / Uвх max × (КI × Iн.max). (24)
Принимая во внимание, что tПРОС много меньше Т, то есть tПРОС << T, то произведением Uвх min × tПРОС можно пренебречь, и тогда выражение (24) запишется в виде:
Lкр ≥ Uвых × [(Т × (Uвх max – Uвх min)] /
Uвх max × (КI × Iнmax), (25)
то есть получили более простое выражение.
Для бортовых ВИП Uвх max обычно составляет (1,5; 2)
Uвх min, то есть можно записать, что
Uвх max = КU × Uвх min, (26)
где КU – коэффициент разброса входного напряжения, принимаемый либо 1,5, либо 2 (коэффициент КU может принимать и промежуточные значения).
Однако при этом необходимо помнить, что при КU > 2, то есть при работе с большим диапазоном коэффициента заполнения Кз есть риск захода в нелинейную область кривой намагничивания, особенно при высоких температурах, близких к точке Кюри. Последнее обязательно приведет к нарушению симметрии в процессе перемагничивания сердечника трансформатора, то есть к его глубокому одностороннему насыщению и, как результат, к отказу силовых транзисторов. Преобразуем выражение (25) с учетом равенства (26):
Lкр > Uвых × [(Т × (Кu × Uвх min – Uвх min)] / Кu × Uвх min ×
× (КI × Iн.max),= Uвых × Т × (Кu – 1) / Кu × (КI × Iнmax) =
= Rн.min × T × (Кu– 1) / Кu × КI = Rн.min × T × (1 – 1/ Кu)/КI,
где Rн.min = Uвых / Iн.max.
Итак, получили удобную и простую формулу для подсчета Lкр, выраженную через заданные параметры: Rн.min, разброс напряжения по входу и по току нагрузки:
Lкр > Rн.min × T × (1 – 1/Кu) / КI. (27)
Заключение
В первой части статьи приводятся уточненная и упрощенная формулы для подсчета критической индуктивности сглаживающих фильтров; рассмотрены инженерные противоречия, которые необходимо учитывать при расчете величины критической индуктивности. Во второй части расчетные формулы будут сведены к табличному виду, позволяющему по исходным данным, таким как минимальное сопротивление нагрузки и период следования импульсов на входе фильтра, выбрать необходимую формулу.
ЛИТЕРАТУРА
Букреев И.Н., Горячев В.И., Мансуров Б.М. Микроэлектронные схемы цифровых устройств. – М.: Техносфера, 2009.
Горячев В.И., Чуприн А.В. Узел внутреннего напряжения питания в бортовых ВИП // ПЕРВАЯ МИЛЯ. 2016. № 4. С. 50–57.
Abraham I., Pressman Keith Billings, Taylor Morey. Switching power supply design. Third Edition.
Application Note 4266. An efficiency primer for switching – mode, DC-DC converter power supplies. 31.08.2015.
Сергеев Б.С. Схемотехника функциональных узлов источников вторичного электропитания. – М.: Радио Связь, 1992.
Семенов Б.Ю. Силовая электроника. – М.: Солон-Р, 1999.
Китаев В.Е., Бокуняев А.А., Колпаков М.Ф. Расчет источников электропитания устройств связи. – М.: Радио связь, 1993.
Захаров В.К., Лыпарь Ю.И. Электронные устройства автоматики и телемеханики. – Л.: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1984.
Силовые полупроводниковые приборы / Пер. с англ. под ред. В.В.Токарева. – Воронеж, 1995.
Источники вторичного электропитания. Справочное пособие / Под ред. Ю.И.Конева. – М.: Радио и связь, 1983.
В.Горячев, к.т.н., главный специалист ЗАО "СпецЭлектронСистемы",
А.Чуприн, главный конструктор ЗАО "СпецЭлектронСистемы" / andchuprin@rambler.ru
УДК 621.311.69, DOI: 10.22184/2070-8963.2019.84.7.60.64
Выведена формула для расчета критической индуктивности дросселя сглаживающего фильтра импульсного вторичного источника питания (ВИП) с учетом длительности просечки ("мертвое время"). Расчет индуктивности производится исходя из разброса входных питающих напряжений, выходных токов нагрузки и периода повторения импульсов на входе фильтра.
Сглаживающий Г-образный фильтр (СгФ) включает в себя всего два компонента – дроссель и конденсатор фильтра. Напомним, что дросселем фильтра наиболее часто называют катушку индуктивности, работающую при больших уровнях постоянного тока (тока подмагничивания), протекающего через витки катушки индуктивности. СгФ включается между выпрямителем (ВП) и нагрузкой Rн (рис.1). И в этой цепи он обеспечивает не только сглаживание пульсаций (откуда его название), но и ряд других функций, таких как ограничение скорости нарастания тока через силовые ключи; снижение пускового тока импульсного ВИП в момент включения; формирование нагрузочной характеристики силовых ключей. Однако основные задачи фильтра в составе ВИП заключаются в другом – выделении постоянной составляющей напряжения из импульсных сигналов прямоугольной формы, поступающих на вход дросселя СгФ, и в подавлении амплитуд первой и высших гармоник, присутствующих в последовательности входных импульсов. Для выполнения этих функций СгФ должен удовлетворять ряду требований, предъявляемых к дросселю фильтра.
И одним из этих требований, по существу основным, является обеспечение индуктивной реакции фильтра на ВП.
Можно выделить несколько аргументов в пользу обеспечения индуктивной реакции фильтра: индуктивная реакция необходима для большей стабильности внешней характеристики ВП; при индуктивной реакции фильтра меньше действующее значение токов в вентилях ВП и в обмотках трансформатора; меньше габаритная мощность трансформатора. Но для обеспечения индуктивной реакции фильтра необходимо, чтобы дроссель фильтра обладал определенной индуктивностью Lф – большей или равной критической величине индуктивности Lкр, то есть Lф ≥ Lкр.
Как уже указывалось, основная задача СгФ заключается в том, чтобы выделить постоянную (нулевую) составляющую напряжения из импульсных входных сигналов прямоугольной формы или, что то же самое, выделить среднее значение напряжения (выполнить усреднение входного сигнала). То есть СгФ должен функционировать в соответствии с выражением:
Uср = Uвых = Uвх L(tИ/Т) = Uвх L × Кз, (1)
где Uср = Uвых – средняя величина импульсного сигнала, равная постоянной составляющей (нулевая составляющая) напряжения на выходе СгФ; Uвх L – максимальная амплитуда импульсного сигнала на входе дросселя; tИ = tON – длительность импульса на входе СгФ, равная длительности включенного состояния силового МОП-транзистора, поступающего на его вход с выхода узла ШИМ (широтно-импульсный модулятор); Т – период следования импульсов на входе дросселя СгФ; Кз = tИ/Т – коэффициент заполнения.
В выражении (1) отсутствует ток. Последнее свидетельствует о том, что выходное напряжение Uвых не зависит от тока нагрузки, а длительность импульса tИ = tON остается постоянной при изменении тока нагрузки в заданных разработчиком пределах – от тока IН = IНMAX до тока IН = IНMIN. Это является следствием допущения, что нет потерь в проводниках и активных элементах. Более правильно сказать, что длительность импульса зависит, но очень незначительно, от тока нагрузки. И это объясняется тем, что с изменением тока нагрузки меняется напряжение на диоде, на проводниках. Следовательно, отрицательная обратная связь (ООС) должна отрабатывать эти изменения. Но поскольку эти изменения незначительны, то можно сказать, что длительность импульса tИ = tON практически не зависит от тока нагрузки при условии изменения тока в заданных пределах. Однако, как указывалось выше, для работы СгФ в соответствии с уравнением (1) необходимо, чтобы индуктивность дросселя Lф была равна или больше критической индуктивности, то есть Lф ≥ Lкр.
В импульсных вторичных источниках питания, содержащих СгФ, под индуктивностью Lкр понимают такую индуктивность дросселя, при которой ток дросселя непрерывен при минимальной величине тока нагрузки, то есть при Rн = Rн.max. Это означает, что ток в дросселе будет протекать и при отсутствии импульсов на его входе, то есть в паузе между импульсами. При этом во время действия импульса tИ = tON ток в индуктивности нарастает по линейному закону со скоростью
di/dt = UL/Lкр, (2)
а в паузе снижается по линейному закону со скоростью
di/dt ≈ – Uвых/Lкр, (3)
где UL, и Uвых – постоянные величины, то есть const.
Принимая во внимание, что для функций, изменяющихся по линейному закону, дифференциал функции равен ее приращению, выражения (2) и (3) можно записать в виде:
ΔI/Δt = UL/Lкр, (2а)
ΔI/Δt ≈ – Uвых/Lкр. (3а)
При этом при Lф ≥ Lкр полное приращение тока, то есть ΔI за время действия импульса
tИ = tON будет равно 2Iн.min, то есть
ΔI = 2Iн.min (4)
И, следовательно, амплитуда тока пилообразного напряжения (ΔI/2 ) станет равной минимальному току нагрузки, то есть
ΔI/2 = Iн.min. (5)
Форма тока в дросселе СгФ при токе нагрузки, равном току Iн.min, приведена на рис.2. Из рисунка видно, что ΔI/2 – это амплитуда пилообразного тока, которая равна среднему значению тока в дросселе LC-фильтра, а ΔI – это полное приращение тока за время действия импульса tИ = tON. Во время действия импульса на входе СгФ, то есть во время открытого состояния ключевого транзистора VT1 или VT2, в дросселе накапливается энергия, которая должна быть отдана в нагрузку в момент действия паузы. Таким образом, во время отсутствия импульсов энергия в нагрузке обеспечивается за счет энергии, накопленной в дросселе и конденсаторе фильтра. Напомним, что индуктивность в стадии разряда рассматривается как источник тока, а конденсатор – как источник напряжения.
Величину индуктивности дросселя можно приближенно оценить, если предположить, что ток от своей первоначальной величины Iн. = Iн.min разряжается по экспоненциальному закону с постоянной времени
τ = L/Rн. (6)
Из этого выражения следует, что чем больше величина сопротивления R = Rн, тем меньше постоянная времени, то есть меньше времени требуется для ее разряда. Понятно, что ток через дроссель не успеет разрядиться до нуля, если величину дросселя L определить из выражения
L ≥ T × Rн.max, (7)
где Rн.max соответствует току, равному току Iн.min, поскольку для полного разряда требуется время больше, чем 3τ.
Следовательно, найденная таким образом индуктивность будет избыточна, что не всегда оправдано, так как такая индуктивность будет занимать много места вследствие большого числа витков. Индуктивность дросселя определяется из выражения:
L = ω2/Rм, (8)
где Rм – магнитное сопротивление дросселя (представление о магнитном сопротивлении является условным, так как в магнитном материале отсутствует движение частиц [1]):
Rм = lср/µS (1/Гн ), (8а)
где lср – длина средней линии кольцевого сердечника дросселя; S – площадь поперечного сечения сердечника; µа – абсолютная магнитная проницаемость вещества магнитопровода (характеризует магнитные свойства вещества, то есть способность вещества намагничиваться под действием внешнего поля) Гн/м. Критическая индуктивность имеет заметно меньшую величину, и она близка к оптимальной с точки зрения габаритов и потерь в дросселе. Поэтому нахождение критической индуктивности вытекает из необходимости построения ВИП с высокой удельной мощностью (например, бортовых ВИП).
Однако важно отметить, что применение дросселей с индуктивностью больше Lкр, кроме отмеченного выше недостатка, имеет свои преимущества, и работа дросселя с индуктивностью, значительно превышающей критическую, во многих случаях оказывается вполне оправданной.
Но вернемся к индуктивности Lкр – и найдем выражение для ее определения.
Для этого воспользуемся общеизвестной формулой:
L = UL × (dt/di). (9)
Или с учетом вышеприведенных замечаний запишем эту формулу в следующем виде:
L = UL × (Δt/ΔI), (10)
где Δt – время протекания тока через дроссель при открытом состоянии ключевого МОП-транзистора, то есть Δt = tИ = tON; UL – напряжение на выводах дросселя (при максимальном напряжении на входе ВИП, то есть при Uвх max), которое находится по формуле:
UL = UВХ L – UВЫХ. (11)
Величина тока пульсаций дросселя ΔI задается разработчиком и, как правило, находится в пределах:
ΔI= КI × Iн.max, (12)
где КI – (коэффициент пульсации тока дросселя ) –
обычно лежит в пределах (10 – 30)% от Iн.max, то есть можно записать, что
ΔI = (0,1 – 0,3)Iн.max. (13)
И тогда с учетом выражения (4) можно записать
ΔI = КI × Iн.max = 2Iн.min. (14)
Из уравнения (14) находим амплитуду тока пульсаций дросселя (ΔI/2), которая в дальнейшем потребуется при определении максимального тока дросселя:
(ΔI/2) = Iн.min = КI × Iн.max /2 = (0,1-0,3)Iн.max/2. (15)
Еще раз напомним: индуктивность, подсчитанную по формуле (10), можно рассматривать в качестве критической, если ток в дросселе непрерывен в течение всего периода Т, а для этого необходимо, чтобы:
прирост тока в дросселе (ΔI) за время действия импульса ШИМ был равен 2Iн.min, то есть
ΔI = 2Iн.min;
ток во время действия импульса ШИМ и в его отсутствии изменялся по линейному закону (это возможно только при условии постоянства напряжения на выводах дросселя фильтра как в момент действия импульса ШИМ, так и в его отсутствии);
среднее значение тока в дросселе LC фильтра равно току нагрузки. В этом случае длительность импульсов при заданном входном напряжении, формируемых схемой ШИМ, будет постоянна независимо от тока нагрузки, изменяемого в заданных пределах от Iн.min до Iн.max.
Таким образом, чтобы найти величину Lкр по формуле (10), необходимо определить две величины – UВХL и длительность импульса tИ = tON. Величину UВХL найдем из формулы (1):
UВХL = UВЫХ × (Т/ tИ ). (16)
Для нахождения величины длительности импульса tИ = tON воспользуемся формулой, по
которой работает ШИМ:
Uвх × tИ = сonst, (17)
где Uвх – напряжение на входе ВИП.
То есть ШИМ формирует импульсные сигналы, длительность которых уменьшается при увеличении входного сигнала и увеличивается при его уменьшении. Но если это так, то уравнение (17) можно записать следующим образом:
Uвх min × tИmax = Uвх max × tИmin, (18)
где Uвх min, Uвх max – соответственно минимальное и максимальное напряжения на входе ВИП, то есть это диапазон изменения входного напряжения; tИmin, tИmax – соответственно минимальная и максимальная длительность импульсов, формируемых схемой ШИМ в заданном диапазоне напряжений, причем tИmin = tИ = tON – это искомая длительность импульса.
Из формулы (18) выразим искомую длительность импульса:
tИ = tON = (Uвх min × tИmax)/ Uвх max. (19)
Напряжение на выводах дросселя UL определяется формулой (11). После подстановки находим:
UL = ( UВЫХ × Т )/tи – UВЫХ = UВЫХ × ( Т – tи)/tи. (20)
Находим произведение UL × tи:
UL × tи = UВЫХ × [( Т – tи)/ tи] × tи = UВЫХ × (Т – tи). (20а)
Находим произведение UL × tи с учетом длительности импульса tи, определяемого выражением (19):
UL × tи = UВЫХ × ( Т – Uвх min × tИmax/Uвх max) =
= UВЫХ × (T × Uвх max- Uвх min × tИmax)/Uвх max. (20б)
Величину Lкр найдем из выражения (10), подставив в него найденные значения UL × tи (формула 20б) и ΔI (формула 12):
Lкр ≥ Uвых(Т × Uвх max – Uвх min × tИmax)/
Uвх max × (КI × Iнmax). (20в)
В математическом выражении (20в) выразим tИmax формулой:
tИmax = Т – tПРОС, (21)
где tПРОС – длительность просечки (см.рис.2) или, что то же самое, "мертвое время" (dead time).
Длительность просечки задается разработчиком, и она зависит от ряда факторов. Это и тип используемых силовых транзисторов (ключей), и параметры трансформатора, и частота преобразования. Обычно при выполнении силовых ключей на МОП-транзисторах и частоте преобразования, не превышающей 500 кГц, она составляет менее десятой части периода, т. е.
tПРОС = 0,1 × Т. (23)
После подстановки (21) в формулу (20в) найдем величину Lкр с учетом длительности просечки:
Lкр ≥ [Uвых(Т × Uвх max – Uвх min × (T – tПРОС)] / Uвх max
(КI × Iнmax) = [Uвых(Т × Uвх max – Uвх min × T + Uвх min × tПРОС)] / Uвх max(КI × Iнmax) = Uвых[(Т × (Uвх max – Uвх min) +
(Uвх min × tПРОС)] / Uвх max(КI × Iнmax).
Таким образом, получили легко читаемую формулу для подсчета критической индуктивности с учетом длительности просечки, выраженную с учетом разброса напряжения питания на входе ВИП:
Lкр ≥ Uвых[(Т × (Uвх max – Uвх min) +
+ (Uвх min × tПРОС)] / Uвх max × (КI × Iн.max). (24)
Принимая во внимание, что tПРОС много меньше Т, то есть tПРОС << T, то произведением Uвх min × tПРОС можно пренебречь, и тогда выражение (24) запишется в виде:
Lкр ≥ Uвых × [(Т × (Uвх max – Uвх min)] /
Uвх max × (КI × Iнmax), (25)
то есть получили более простое выражение.
Для бортовых ВИП Uвх max обычно составляет (1,5; 2)
Uвх min, то есть можно записать, что
Uвх max = КU × Uвх min, (26)
где КU – коэффициент разброса входного напряжения, принимаемый либо 1,5, либо 2 (коэффициент КU может принимать и промежуточные значения).
Однако при этом необходимо помнить, что при КU > 2, то есть при работе с большим диапазоном коэффициента заполнения Кз есть риск захода в нелинейную область кривой намагничивания, особенно при высоких температурах, близких к точке Кюри. Последнее обязательно приведет к нарушению симметрии в процессе перемагничивания сердечника трансформатора, то есть к его глубокому одностороннему насыщению и, как результат, к отказу силовых транзисторов. Преобразуем выражение (25) с учетом равенства (26):
Lкр > Uвых × [(Т × (Кu × Uвх min – Uвх min)] / Кu × Uвх min ×
× (КI × Iн.max),= Uвых × Т × (Кu – 1) / Кu × (КI × Iнmax) =
= Rн.min × T × (Кu– 1) / Кu × КI = Rн.min × T × (1 – 1/ Кu)/КI,
где Rн.min = Uвых / Iн.max.
Итак, получили удобную и простую формулу для подсчета Lкр, выраженную через заданные параметры: Rн.min, разброс напряжения по входу и по току нагрузки:
Lкр > Rн.min × T × (1 – 1/Кu) / КI. (27)
Заключение
В первой части статьи приводятся уточненная и упрощенная формулы для подсчета критической индуктивности сглаживающих фильтров; рассмотрены инженерные противоречия, которые необходимо учитывать при расчете величины критической индуктивности. Во второй части расчетные формулы будут сведены к табличному виду, позволяющему по исходным данным, таким как минимальное сопротивление нагрузки и период следования импульсов на входе фильтра, выбрать необходимую формулу.
ЛИТЕРАТУРА
Букреев И.Н., Горячев В.И., Мансуров Б.М. Микроэлектронные схемы цифровых устройств. – М.: Техносфера, 2009.
Горячев В.И., Чуприн А.В. Узел внутреннего напряжения питания в бортовых ВИП // ПЕРВАЯ МИЛЯ. 2016. № 4. С. 50–57.
Abraham I., Pressman Keith Billings, Taylor Morey. Switching power supply design. Third Edition.
Application Note 4266. An efficiency primer for switching – mode, DC-DC converter power supplies. 31.08.2015.
Сергеев Б.С. Схемотехника функциональных узлов источников вторичного электропитания. – М.: Радио Связь, 1992.
Семенов Б.Ю. Силовая электроника. – М.: Солон-Р, 1999.
Китаев В.Е., Бокуняев А.А., Колпаков М.Ф. Расчет источников электропитания устройств связи. – М.: Радио связь, 1993.
Захаров В.К., Лыпарь Ю.И. Электронные устройства автоматики и телемеханики. – Л.: Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1984.
Силовые полупроводниковые приборы / Пер. с англ. под ред. В.В.Токарева. – Воронеж, 1995.
Источники вторичного электропитания. Справочное пособие / Под ред. Ю.И.Конева. – М.: Радио и связь, 1983.
Отзывы читателей
